Olá meus caros estudantes! Veja como os médicos legistas usam logaritmos para calcular a hora em que uma pessoa morreu. Essa questão caiu no Vestibular da Unesp.
(Vunesp) O corpo de uma vítima de assassinato foi encontrado às 22 horas. Às 22h 30 min o médico da polícia chegou imediatamente tomou a temperatura do cadáver, que era de 32,5°C. Uma hora mais tarde tomou a temperatura outra vez e encontrou 31,5℃; a temperatura do ambiente foi mantida constante a 16,5℃. Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva seja 36,5℃ e suponha que a lei matemática que descreve o resfriamento do corpo é dado por
D(t) = D0∙2(-2αt), em que t é o tempo em horas, D0 é a diferença de temperatura do cadáver com o meio ambiente no instante t = 0, D(t) é a diferença de temperatura do cadáver com o meio ambiente num instante t qualquer e 𝛂 é uma constante positiva. Os dados obtidos pelo médico foram colocados na tabela seguinte:
| | Hora | Temperatura do corpo (℃) | Temperatura do quarto (℃) | Diferença de temperatura (℃) |
| t = ? | morte | 36,5 | 16,5 | D(t) = 20 |
| t = 0 | 22h 30min | 32,5 | 16,5 | D(0) = D0 = 16 |
| t = 1 | 23h 30min | 31,5 | 16,5 | D(1) = 15 |
Considerando os valores aproximados log2 5 = 2,3 e log2 3 = 1,6, determine:
a) a constante α;
b) a hora em que a pessoa morreu.
Resolução:
O problema parece ser terrível, mas ele é para quem não tem domínio de linguagem e de propriedades logarítmicas.
Veja o item a) D(t) é a diferença entre a temperatura do cadáver com o meio ambiente. Na quinta coluna o problema dá essa diferença. Na fórmula em D(t) substitua D(1) = 15 e D(0) = 16, e use t = 1; aplique log de base 2 nos dois lados da igualdade e você terá:
D(t) = D0 ∙ 2-2αt → 15 = 16 ∙ 2-2α1 → log2 15 = log2 (24∙2-2α)
o resto é com vocês. A resposta é alfa = 0,05.
b) Sabendo o alfa vocês tem condições de saber em que hora a pessoa morreu. Só lembrando que D(t) = 20. Vocês irão achar um tempo igual a -3. Está certo, pois o negativo indica que a pessoa morreu três horas antes de ser achado.
