Um pouco da história do logaritmo

Pode parecer um pouco estranho, mas a matéria que vamos introduzir agora surgiu muito antes do desenvolvimento da exponencial. Podemos dizer ainda mais, a exponencial é conseqüência dos logaritmos (como mais tarde iremos ver, a função exponencial é o inverso da função logarítmica). Seu aparecimento ocorreu no começo do século XVII onde as grandes navegações, comércios, empréstimos de dinheiros exigiam cálculos muito laboriosos, portanto, havia uma necessidade na época para que esses cansativos cálculos fossem simplificados. A essência era substituir complicados cálculos de multiplicação e divisão, por operações mais simples como a soma e a subtração respectivamente.

Os dois matemáticos que desenvolveram os logaritmos foram o suíço Jobst Bürgi (1552-1632) e o escocês John Napier (1550-1617)cujos os trabalhos foram desenvolvidos independentemente, assim como na maioria dos casos da ciência quando há uma mudança de paradigma.

O suíço Bürgi dedicava-se a fabricação de relógios, mas era muito astuto em matemática e na astronomia, tendo ajudado Kepler, em Praga, nos cálculos das ‘rbitas planetárias e das posições das estrelas. Nesse momento, Bürgi deve ter se dado conta em criar um método para facilitar os cálculos. Em 1600 ele já possui o domínio dos cálculos de logaritmos, porém só publicou seus trabalhos vinte anos mais tarde.

Mas foi somente com John Napier e Henry Briggs (1556-1630) que se construiu tábuas logarítmicas com casas decimais. Napier nasceu quando seu pai tinha apenas dezesseis anos, levava uma vida rica e próspera no castelo de Merchiston (figura à direita), perto de Edimburgo, Escócia e gastou grande parte de suas energias em controvérsias políticas e religiosas de seu tempo. Napier era fervorosamente anticatólico, ele era tão convicto em suas opiniões que em 1593 lançou um livro dizendo poder provar que o papa era o anticristo e que o Criador tencionava pôr fim ao mundo nos anos entre 1688 e 1700.

Profeticamente, Napier também escreveu sobre várias máquinas de guerra infernais. Previu que no futuro desenvolver-se-ia uma peça de artilharia que “poderia eliminar de um campo de quatro milhas de circunferência todas as criaturas vivas que excedessem um pé de altura”, que produziriam “dispositivos para navegar debaixo d’água” e que se criaria um carro de guerra com uma boca que se acenderia para “espalhar a destruição por todas as partes”. Dá para dizer que ele foi profético nesses seus delírios!

Blog de Matemática!

Olá meus queridos alunos!

Eis um blog muito bom e completo de matemática e ciências afins.

http://fatosmatematicos.blogspot.com

Um abraço!

Logaritmos e a hora em que uma pessoa morreu

Olá meus caros estudantes! Veja como os médicos legistas usam logaritmos para calcular a hora em que uma pessoa morreu. Essa questão caiu no Vestibular da Unesp.

(Vunesp) O corpo de uma vítima de assassinato foi encontrado às 22 horas. Às 22h 30 min o médico da polícia chegou imediatamente tomou a temperatura do cadáver, que era de 32,5°C. Uma hora mais tarde tomou a temperatura outra vez e encontrou 31,5℃; a temperatura do ambiente foi mantida constante a 16,5℃. Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva seja 36,5℃ e suponha que a lei matemática que descreve o resfriamento do corpo é dado por

D(t) = D₀∙2^(-2αt), em que t é o tempo em horas, D₀ é a diferença de temperatura do cadáver com o meio ambiente no instante t = 0, D(t) é a diferença de temperatura do cadáver com o meio ambiente num instante t qualquer e 𝛂 é uma constante positiva. Os dados obtidos pelo médico foram colocados na tabela seguinte:

	Hora	Temperatura do corpo (℃)	Temperatura do quarto (℃)	Diferença de temperatura (℃)
t = ?	morte	36,5	16,5	D(t) = 20
t = 0	22h 30min	32,5	16,5	D(0) = D0 = 16
t = 1	23h 30min	31,5	16,5	D(1) = 15

Considerando os valores aproximados log₂ 5 = 2,3 e log₂ 3 = 1,6, determine:

a) a constante α;

b) a hora em que a pessoa morreu.

Resolução:

O problema parece ser terrível, mas ele é para quem não tem domínio de linguagem e de propriedades logarítmicas.

Veja o item a) D(t) é a diferença entre a temperatura do cadáver com o meio ambiente. Na quinta coluna o problema dá essa diferença. Na fórmula em D(t) substitua D(1) = 15 e D(0) = 16, e use t = 1; aplique log de base 2 nos dois lados da igualdade e você terá:

D(t) = D₀ ∙ 2^-2αt → 15 = 16 ∙ 2^-2α1 → log₂ 15 = log₂ (2⁴∙2^-2α)

o resto é com vocês. A resposta é alfa = 0,05.

b) Sabendo o alfa vocês tem condições de saber em que hora a pessoa morreu. Só lembrando que D(t) = 20. Vocês irão achar um tempo igual a -3. Está certo, pois o negativo indica que a pessoa morreu três horas antes de ser achado.

Mundo Vestibular: Como Estudar Matemática.

Olá meus caros estudantes! Vou repassar o que li no site Mundo Vestibular (www.mundovestibular.com.br) sobre "Como estudar Matemática" enviado pelo Colégio Santa Catarina. Muito interessante!

• Faça você mesmo os exercícios, nunca peça a outra pessoa para fazê-los, apenas peça explicações.
• Leia os enunciados mais de uma vez para compreender o que é pedido. Nem sempre compreendemos tudo na primeira leitura. Se for possível, destaque os dados mais importantes.
• Quando surgir alguma dúvida durante a resolução de exercícios, volte ao enunciado.
• Ao resolver problemas, leia observando o que deve ser feito para solucioná-los, anotando os dados.
• Confira sempre as anotações.
• Procure relacionar as matérias com situações do dia-a-dia.
• Confira se está tudo feito de acordo como enunciado e se há questões sem fazer.

Como estudar Matemática Durante as aulas:

• Participe das aulas, perguntando quando tiver alguma dúvida sobre a matéria ou sobre as resoluções dos exercícios.

• Dê bastante atenção as explicações e correções, mesmo quando achar a matéria fácil.
• Participe falando sua forma de resolução, sempre que ela for diferente da apresentada por outros colegas.
• Corrija todo o dever com muita atenção, não deixe de marcar certo ou errado e faça sempre a correção necessária. Nunca copie do quadro exercícios prontos, sem tê-los entendido primeiro.

Como estudar Matemática em casa:

• Faça os deveres com atenção e sempre que tiver dúvida, consulte a matéria.
• Estude, refazendo os exercícios dados em aula.
• Se errar, procure descobrir seu erro e repita o exercício até acertá-lo com segurança.
• Exercite e aprimore as operações fundamentais, sempre conferindo o resultado.
• Reveja diariamente toda a matéria dada, principalmente os exercícios que você teve maior dificuldade.
• Uma dica muito boa é copiar em aula tudo em um rascunho, anotando todas as observações do professor. Chegando em casa, passando tudo a limpo num caderno colorindo as fórmulas e as anotações importantes.

fonte: http://www.mundovestibular.com.br/articles/6378/1/Como-estudar-Matematica/Paacutegina1.html#postedcomment

O quanto a internet é segura?

O quanto a internet é segura?

Quando a internet surgiu uma das principais ofertas que nos fornecia era “privacidade” na busca, e nos emails. Hoje sabemos que isso não é assim. O buscador Google grava todas as buscas que você faz se estiver logado com a sua conta. Portanto, é difícil ter privacidade hoje em dia, pois a publicidade sabe o que você mais procura. As empresas de busca afirmam proteger a privacidade de seus clientes criptografando (código) informações pessoais com números em vez de nomes para que seus usuários permaneçam anônimos.

Mas o que fazer para manter o sigilo em nossas buscas, emails, contas bancárias, etc. Talvez as leis da física possam resolver esse dilema. Hoje, muitos cientistas da computação estão transformando a criptografia em “canais quânticos”, muitos sistemas bancários estão usando esse tipo código para não haver violação. Assim, com esse tipo de sistema, pode “barrar intrusos” que queiram ver o que nós buscamos nas páginas de pesquisas. No futuro, não tão distante uma nova versão “quântica” da internet pode garantir que qualquer um faça pesquisas e receba respostas com a certeza de que ninguém saberá quais consultas você fez. Outra questão é que as buscas permitiriam tornar confidenciais todas as atividade realizadas on-line.

Mas como todos já sabem, as empresas de busca faturam com os anúncios dependendo da sua busca. Se você buscar por “comida para gato” lá estará um anuncio de marcas para a sua busca. As empresas de busca terão que elaborar um outro tipo de orçamento, sem ser o anuncio da busca.

O que os modelos quânticos tem haver com segurança na internet? A capacidade que a física quântica tem a oferecer é que os sistemas no universo quântico (que incluem desde partículas elementares até moléculas) podem existir em diversos estados. Pois nós sabemos que um átomo ou molécula pode estar em vários lugares diferentes; uma partícula de luz, ou fóton, pode ser polarizada vertical e horizontalmente ao mesmo tempo; o momento magnético (ou o spin) de um elétron pode estar apontada para cima ou para baixo, e assim por diante.

Mas porque não usar os bits (0 ou 1)? Aí que se encontra a chave! Os bits só geram 0 ou 1, com os “bits quânticos” podemos gerar 0, 1 ou os 0 e 1 simultaneamente. Não é possível fazer cópia exata desse bit, pois qualquer tentativa mudará seu estado quântico. Essa regra é conhecida na computação como “teorema da não clonagem”, se alguém colocar uma “escuta” em um canal quântico, não será capaz de “ouvir” a comunicação sem perturbá-la. Pois, sabemos isso pelo Princípio de Incerteza, quanto mais sabemos uma informação (por exemplo, a velocidade da partícula), menos sabemos outra (localização da partícula).

Porém, as “buscas quânticas” precisarão de um novo tipo de memória de armazenamento, pois como o buscador, será capaz de ler a mensagem se não é capaz de decodificar a mensagem. Um grupo de pesquisadores da Universidade de Pavia, na Itália, e outro no MIT-USA, criaram um protocolo capaz de enviar ao buscador uma “pergunta quântica” – ou seja, uma cadeia de bits quânticos que contenha simultaneamente a pergunta real e mais outra qualquer. O buscador, pesquisou em seu banco de dados atrás das respostas para múltiplas questões e combina perguntas e respostas em seu novo pacote quântico, enviando novamente ao usuário. Se o buscador quiser registrar uma cópia da busca, pronto! O usuário saberá que o sistema foi violado; pois o estado quântico de suas perguntas originais terá sido perturbado de maneira detectável ao computador. O ponto chave é: o buscador fornece a resposta sem saber qual foi a pergunta! Ou seja, ele fornece a resposta sem saber qual foi a pergunta ou qual usuário perguntou.

Adaptado: Scientific American Brasil “Privacidade e a internet Quântica” ano 8 N^a 90, novembro 2009.

Algumas idéias para o nono ano para a mostra científica CCS

Dicas para os nonos anos sobre a mostra científica em seus blogs:

- O que a física nuclear tem haver com a arte e a arqueologia. O nome dessa ciência chama-se “Arqueometria” ela é muito recente no mundo procurem na internet no Google; sugestão é no site http://cienciahoje.uol.com.br/revista-ch/revista-ch-2009/262 ,

- Astrobiologia: é uma nova área da ciência junto com os departamentos de biologia e de física que procuram qualquer tipo de vida fora do nosso planeta. Através do espectrômetro eles conseguem dizer quais os elementos do planeta e se é possível haver qualquer tipo de vida nele. Procurem no Google, o melhor caminho será o Instituto de Biofísica da Universidade Federal do Rio de Janeiro.

- Tecnologia Farmacêutica. Uma das grandes idéias para os remédios que muitas vezes ingerido provocam reações inesperados em nossa barriga; é o uso de Iontoforese que facilita a entrada de “remédios”em nosso organismo através do uso de eletricidade (sem causar dor e não invasiva) sem causar efeitos colaterais em que remédios ingeridos causariam. Procurem no site da Ciência Hoje para maiores informações.

- O novo material que pode revolucionar a eletrônica: o GRAFENO

“Apanhe um lápis favorito e comece a escrever, escrever ..., rabisque e não apague. Pegue uma fita adesiva, coloque-a sobre os riscos e remova-a, cuidadosamente. Grudado nela, estará um material muito valioso e que poderá revolucionar toda a eletrônica: o grafeno, o mais novo membro de uma distinta família que incluiu a grafite, os nanotubos de carbono e o famoso e eterno diamante.”

- As TV’S e os cristais líquidos. As TV, visores de relógios, telas de computador, calculadoras, celulares, pineis de veículos, a lista de dispositivos eletrônicos é extensa. Mas esse “quarto estado da matéria” que tem a ordem molecular dos sólidos e a fluidez dos líquidos, desempenham funções essenciais até mesmo em nossos organismos.

- Nanobiotecnologia na saúde humana – robôs introduzidos no corpo para atacar células cancerígenas? Verdade ou ficção? Parece coisa de filme, mas cientistas na área de medicina, física, farmácia e biologia estão desenvolvendo algo desse tipo chamados de nanobiotecnologia. (ciência hoje n 255)

- Hemodinâmica – A tecnologia voltada para entender como as artérias e veias funcionam em modelagem computacional (Ciência Hoje vol 36 N 212)

- LHC – O Grande Colisor de Hádrons é uma das maiores invenções da mente humana para decifrar o enigma das partículas elementares (porque eles tem uma determinada massa e não outra, por exemplo) e também para desvendar a origem do Universo.

- O próximo substituto do LHC: Para investigar mais ao fundo as partículas elementares temos que ter um colisor mais forte que é o ILC que será composto por dois aceleradores lineares de 11,3 km que usam potentes campos elétricos para acelerar as partículas.

- Lasers como infravermelhos para transmissão de dados – Muitos lugares no mundo não tem acesso a água, o que dizer da internet! Mas hoje em dia com a tecnologia dos laser para transmitir dados sem o uso de cabos pode facilitar o acesso a rede.

- Matéria escura – Um dos grandes enigmas do universo é saber se o universo tem a matéria escura. Pois segundo estudos dos astrofísicos o Universo a nossa volta, as estrelas somam menos de 1% da massa do Universo; todo o gás livre e outras formas de matéria ordinária, menos de 5%. O restante é a nossa ignorância pois não sabemos descrever o que é essa matéria escura.

- Transgênicos: A discussão envolvendo produção, comercialização e uso de plantas geneticamente modificadas (GM) é mundial. Ninguém sabe como são feitos ou que benefícios (ou malefícios) ao homem e ao ambiente podem causar.

- GPS- O Sistema Global de Posicionamento está sendo usado por muitas pessoas, seja no carro, no celular, nos aviões, geólogos, navegadores, etc. Mas como funciona esse aparelho o que é necessário?

- Usinas de Fusão nuclear: Na França, está sendo construída a primeira usina de fusão nuclear do mundo. Todas as Usinas são de fissão nuclear, ou seja, há uma separação de átomos de urânio. Onde a energia liberada é menor que a fusão nuclear entre dois átomos de hidrogênio que é muito maior.

- Lixo nuclear reciclado – Reatores de nêutrons rápidos extrairiam muito mais energia de combustível reaproveitado em usinas, minimizaram os riscos da proliferação de armas e reduziriam o tempo que os dejetos precisam ser mantidos em isolamentos.

- Blecautes: como previnir? Uma rede elétrica inteligente capaz de responder automaticamente aos problemas poderia reduzir o número crescente de blecautes.

Mais tarde colocarei alguns links de site para consultas. Qualquer coisa entrem em contato comigo.

Quais são os elementos constituintes do corpo humano

Quais são os elementos constituintes do corpo humano?

Foram encontrados no planeta Terra (até agora) 92 elementos químicos. Apenas oito desses elementos respondem por 90,5% da massa da crosta terrestre. O oxigênio é o mais abundante; depois dele vem o silício e em seguida: alumínio, ferro, cálcio, sódio, potássio e magnésio. Todos os outros elementos aparecem em quantidades inferiores a 1%.

O corpo humano tem elevado conteúdo de água nas células e nos tecidos humanos faz com que o oxigênio seja o primeiro da lista. O carbono, o hidrogênio, também abundantes, são essenciais para todas as formas de vida. Elementos de traço, mais raros, desempenham papéis vitais na saúde.

Oxigênio: 65%

Carbono: 18%

Hidrogênio: 10%

Nitrogênio: 3%

Cálcio: 1,4%

Fósforo: 1%

Sódio: 0,35%

Enxofre: 0,25%

Outros elementos: 1%

Fonte: Estrutura da Matéria (Série Ciência e Natureza – Time Life) Abril Coleções